Notations : aZ et D(a)

Notation

Soit $a$ , $b\in \mathbb{Z}$ .
L'ensemble des multiples de  $b$ est :  $\{...;-3b;-2b;-b;0;b;2b;3b;...\}=b\mathbb{Z}$ .
Ce sont tous les entiers de la forme  $kb$  avec  $k\in \mathbb{Z}$ .

En particulier :

• l’ensemble des multiples de  $0$ est $0\mathbb{Z}=\left\{0\right\}$ car  $0$ ne divise que lui-même ;
  
• l’ensemble des multiples de  $1$ est $1\mathbb{Z}=\mathbb{Z}$ car  $1$ divise tous les entiers ;
• l’ensemble des multiples de  $-1$ est $(-1)\mathbb{Z}=\mathbb{Z}$ car $-1$ divise tous les entiers.
  

Notation

L'ensemble des diviseurs de  $a$ est noté $\mathcal{D}(a)$ . On a :

• $\mathcal{D}(0)=\mathbb{Z}$ ;
  
• $\mathcal{D}(1)=\mathcal{D}(-1)=\{-1;1\}$ ;
• pour tout $a\in \mathbb{Z}\setminus \{-1;0;1\}$ , $\mathcal{D}(a)$ contient au moins quatre éléments : $1$ ; $-1$ ; $a$ et $-a$ .

Attention, la notation $\mathcal{D}(a)$ n’est pas une notation standard.

Exemples

• $\mathcal{D}(36)=\{1;2;3;4;6;9;12;18;36;-1;-2;-3;-4;-6;-9;-12;-18;-36\}$
  
• $\mathcal{D}(-21)=\{1;3;7;21;-1;-3;-7;-21\}$
  
• $\mathcal{D}(13)=\{1;13;-1;-13\}$